אוקלידס, בספרו "היסודות", משנת 300 שלפני הספירה הנוצרית, אינו מגדיר את המושג שטח מפורשות, אלא מתאר את השטחים במושג "עצמים שווי שטח" ואת בעיות השטח כבעיות בנייה. בדבריו, מציג אוקלידס את האפשרות לבנות צורה גיאומטרית הזהה בשטחה לצורה גיאומטרית נתונה. באמצעות כך, הוא הצליח אף להוכיח את משפט פיתגורס.
האקסיומות הגיאומטריות שהציב אוקלידס מתייחסות למושג השטח, אם כי הוא לא מכונה כך מפורשות: א. דברים השווים לאותו דבר שווים ביניהם. ב. הוספת דברים שווים לדברים שווים מפיקה סכומים שווים. ג. החסרת דברים שווים מדברים שווים יוצרת הפרשים שווים. ד. דברים החופפים זה לזה אף שווים זה לזה. ה. השלם גדול מחלקיו. אולם, אוקלידס לא ייחס מספרים לשטחן של צורות גיאומטריות אלא התייחס לצורות חופפות כבעלות תכונות זהות, וממילא אף שוות בשטחן.
בעקבות כך, היוונים התייחסו לבעיות השטח כבעיות בנייה, וניסו ליצור גופים השווים בשטחם לגופים נתונים. לכן, הם הצליחו לעשות זאת בהשוואה בין מרובעים, אך התקשו ביצירת גוף ששטחו זהה לשטח מעגל נתון, או להיפך.
בירקהוף, המתמטיקאי האנגלי, אשר פרסם מערכת אקסיומות הקולה למערכת האקסיומות של אלברט, בשנת 1941, מגדיר את השטח בעזרת כמה תכונות מינימליות. אלו, מגדירות את פונקציית השטח באופן חד ערכי.
למעשה, השטח מהווה פונקציה המתייחסת לכל צורה מישורית סגורה ומודדת אותה. זאת, כאשר המספר הוא חיובי ממשי, ולכן נקודה או קטע, ששטחן שווה לאפס – הן אינן בעלות שטח ממשי.
